Introduction à la théorie ergodique
Vous pouvez télécharger ici quelques notes de cours rédigées à l'occasion de cours de DEA et Master 2 que j'ai donnés à l'université de Rouen et à l'université Paris 6. Une partie importante de leur contenu est fortement inspiré des ouvrages suivants, dont la lecture est vivement recommandée :
- Outline of Ergodic Theory, , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2010.
- The Ergodic Theory of Discrete Sample Paths, Graduate Studies in Mathematics vol.13, American Mathematical Society, 1996.
Ces notes ne sont que des versions provisoires, incomplètes et comportant probablement un nombre non négligeable d'erreurs ! Merci de m'envoyer par courrier électronique tout commentaire ou suggestion à propos de ces notes.
Sommaire
- Introduction et premiers exemples. Rotations du cercle, schémas de Bernoulli, transformation du boulanger.
- Théorème ergodique, ergodicité. Théorèmes ergodiques de Von Neumann et Birkhoff, décomposition en composantes ergodiques.
- Lemme de Rokhlin, temps de retour et quelques applications. Théorème de récurrence de Poincaré, formule de Kac, lemme de Rokhlin, transformation induite, existence d'un générateur dénombrable, absence de vitesse de convergence dans le théorème ergodique.
- Théorie spectrale des opérateurs unitaires. Mesure spectrale, type spectral maximal.
- Mélange fort, mélange faible. Caractérisations spectrales du mélange, du mélange faible ; lien entre le mélange faible et l'absence de valeurs propres, ergodicité d'un carré cartésien, d'un produit direct, un exemple faiblement mélangeant mais non mélangeant : la transformation de Chacon.
- Partitions et entropie. Entropie d'une partition, entropie conditionnelle, entropie d'un processus, d'un système dynamique, théorème de Kolmogorov-Sinai, facteur de Pinsker, K-systèmes.
- Introduction aux couplages en théorie ergodique. Facteurs et produits : arithmétique des systèmes dynamiques, couplages, disjonction et disjonction spectrale, caractérisation de l'isomorphisme entre deux systèmes par l'existence de couplages particuliers, autocouplages et commutant, couplage relativement indépendant au-dessus d'un facteur commun, lemme fondamental de non-disjonction.
- Introduction à la théorie ergodique en mesure infinie. Exemples, conservativité et dissipativité, décomposition de Hopf, théorème ergodique quotient de Hopf, type positif et type zéro.
- Introduction aux suspensions de Poisson. Définition, propriétés élémentaires, décomposition en chaos, propriétés spectrales.
