Introduction à la théorie ergodique

Vous pouvez télécharger ici quelques notes rédigées à l'occasion de cours de Master 2 que j'ai donnés à l'Université de Rouen Normandie et à l'Université Paris 6.

Ces notes ne sont que des versions provisoires, incomplètes et comportant probablement un nombre non négligeable d'erreurs ! Merci de m'envoyer par courrier électronique tout commentaire ou suggestion à propos de ces notes.

Sommaire

• Introduction aux systèmes dynamiques mesurés et premiers exemples. Rotations du cercle, schémas de Bernoulli, transformation du boulanger. (Mise à jour 2024)
• Théorèmes ergodiques, ergodicité et composantes ergodiques. Théorème ergodique en moyenne de Von Neumann, théorème ergodique ponctuel de Birkhoff, caractérisations de l'ergodicité, décomposition en composantes ergodiques. (Mise à jour 2024)
• Tours et retours Théorème de récurrence de Poincaré, formule de Kac, lemme de Rokhlin, transformation induite, existence d'un générateur dénombrable, absence de vitesse de convergence dans le théorème ergodique. (Mise à jour 2024)
• Théorie spectrale des opérateurs unitaires. Mesure spectrale, type spectral maximal. (Mise à jour 2024)
• Mélange fort, mélange faible. Caractérisations spectrales du mélange, du mélange faible ; lien entre le mélange faible et l'absence de valeurs propres ; ergodicité d'un carré cartésien, d'un produit direct ; un exemple faiblement mélangeant mais non mélangeant : la transformation de Chacon. (Mise à jour 2025)
• Entropie de Kolmogorov-Sinai. Entropie d'une partition finie, entropie conditionnelle, entropie d'un processus stationnaire, d'un système dynamique, théorème de Kolmogorov-Sinai, facteur de Pinsker, K-systèmes. (Mise à jour 2025)
• Introduction aux couplages en théorie ergodique. Facteurs et produits : arithmétique des systèmes dynamiques, couplages, disjonction et disjonction spectrale, caractérisation de l'isomorphisme entre deux systèmes par l'existence de couplages particuliers, autocouplages et commutant, couplage relativement indépendant au-dessus d'un facteur commun, lemme fondamental de non-disjonction. (Mise à jour 2025)

Compléments

• Introduction à la théorie ergodique en mesure infinie. Exemples, conservativité et dissipativité, décomposition de Hopf, théorème ergodique quotient de Hopf, type positif et type zéro.
• Introduction aux suspensions de Poisson. Définition, propriétés élémentaires, décomposition en chaos, propriétés spectrales.