Exercice vache
Rappel de l'énoncé
Un paysan possède un troupeau de 25 vaches, et il a remarqué la propriété suivante : quelle que soit la vache qu'il retire, il peut partager les 24 vaches qui restent en 3 sous-troupeaux de 8 vaches, tous les trois de même poids total. Prouver que toutes ses vaches ont le même poids.
Solution
Pour résoudre ce problème, on peut utiliser le lemme suivant.
lemme
Soit $G$ un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ tel que
- $G$ possède une famille génératrice finie,
- il existe un entier $k\geq 2$ tel que $\forall x\in G$, $x/k\in G$.
Alors $G=\{0\}$.
En effet, tout sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ finiment engendré et non réduit au singleton $\{0\}$ possède une base finie, c'est-à-dire une famille finie $(x_1,\ldots,x_p)$ telle que tout $x\in G$ s'écrive de façon unique sous la forme $$ x\ =\ n_1x_1+\cdots+n_px_p, $$ où les $n_j$ sont des nombres entiers. (Ce résultat se démontre par récurrence sur le cardinal d'une famille génératrice finie de $G$, et il est valable pour tous les groupes abéliens de type fini et sans torsion.) Mais alors pour tout entier $k\geq 2$, $x_1/k$ ne peut pas être dans $G$, puisque l'on aurait dans ce cas $x_1/k=n_1x_1+\cdots+n_px_p$ avec au moins un $i\neq 1$ pour lequel $n_i\neq 0$, d'où $x_1=(kn_1)x_1+\cdots+(kn_p)x_p$, ce qui contredirait l'unicité de la décomposition de $x_1$ dans cette base. Ainsi, le seul sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ remplissant les hypothèses du lemme est $\{0\}$.
Revenons à nos vaches... Appelons $v_i$ le poids de la $i$-ème vache, et posons, pour $i$ et $j$ entre 1 et 25, $\delta_{i,j}:= v_i-v_j$. Soit enfin $p_i$ le poids commun des trois sous-troupeaux obtenus lorsque l'on retire la $i$-ème vache. Si $G$ est le sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ engendré par les $\delta_{i,j}$, alors $p_j-p_i$ est toujours dans $G$. Par ailleurs, il est bien évident que pour tous $i,j$, $$ 3 p_i + v_i = 3p_j+v_j, $$ d'où $$ \delta_{i,j} = 3(p_j-p_i), $$ et $\delta_{i,j}/3\in G$. Comme la famille $(\delta_{i,j})$ est génératrice de $G$, on a immédiatement, pour tout $x\in G$, $x/3\in G$. Le lemme assure alors que $G$ est réduit à $\{0\}$, et donc toutes les vaches ont le même poids.
Remarque : la solution prouve que le résultat reste valable si le paysan possède un troupeau de $nk+1$ vaches, et si quelle que soit la vache qu'il retire, il peut partager les $nk$ vaches qui restent en $k$ sous-troupeaux de $n$ vaches, tous de même poids total.
