Exercice vache

Rappel de l'énoncé

Un paysan possède un troupeau de 25 vaches, et il a remarqué la propriété suivante : quelle que soit la vache qu'il retire, il peut partager les 24 vaches qui restent en 3 sous-troupeaux de 8 vaches, tous les trois de même poids total. Prouver que toutes ses vaches ont le même poids.

La vache

Solution

Pour résoudre ce problème, on peut utiliser le lemme suivant.

lemme

Soit $G$ un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ tel que

  1. $G$ possède une famille génératrice finie,
  2. il existe un entier $k\geq 2$ tel que $\forall x\in G$, $x/k\in G$.

Alors $G=\{0\}$.

En effet, tout sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ finiment engendré et non réduit au singleton $\{0\}$ possède une base finie, c'est-à-dire une famille finie $(x_1,\ldots,x_p)$ telle que tout $x\in G$ s'écrive de façon unique sous la forme $$ x\ =\ n_1x_1+\cdots+n_px_p, $$ où les $n_j$ sont des nombres entiers. (Ce résultat se démontre par récurrence sur le cardinal d'une famille génératrice finie de $G$, et il est valable pour tous les groupes abéliens de type fini et sans torsion.) Mais alors pour tout entier $k\geq 2$, $x_1/k$ ne peut pas être dans $G$, puisque l'on aurait dans ce cas $x_1/k=n_1x_1+\cdots+n_px_p$ avec au moins un $i\neq 1$ pour lequel $n_i\neq 0$, d'où $x_1=(kn_1)x_1+\cdots+(kn_p)x_p$, ce qui contredirait l'unicité de la décomposition de $x_1$ dans cette base. Ainsi, le seul sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ remplissant les hypothèses du lemme est $\{0\}$.

Revenons à nos vaches... Appelons $v_i$ le poids de la $i$-ème vache, et posons, pour $i$ et $j$ entre 1 et 25, $\delta_{i,j}:= v_i-v_j$. Soit enfin $p_i$ le poids commun des trois sous-troupeaux obtenus lorsque l'on retire la $i$-ème vache. Si $G$ est le sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ engendré par les $\delta_{i,j}$, alors $p_j-p_i$ est toujours dans $G$. Par ailleurs, il est bien évident que pour tous $i,j$, $$ 3 p_i + v_i = 3p_j+v_j, $$ d'où $$ \delta_{i,j} = 3(p_j-p_i), $$ et $\delta_{i,j}/3\in G$. Comme la famille $(\delta_{i,j})$ est génératrice de $G$, on a immédiatement, pour tout $x\in G$, $x/3\in G$. Le lemme assure alors que $G$ est réduit à $\{0\}$, et donc toutes les vaches ont le même poids.

Remarque : la solution prouve que le résultat reste valable si le paysan possède un troupeau de $nk+1$ vaches, et si quelle que soit la vache qu'il retire, il peut partager les $nk$ vaches qui restent en $k$ sous-troupeaux de $n$ vaches, tous de même poids total.

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