C'est pas de la tarte !
Rappel de l'énoncé
Une pelle à tarte permet de découper des parts mesurant un angle $\alpha$ fixé. On s'amuse à appliquer à une tarte aux fraises l'opération suivante :
- on découpe la part de tarte placée devant soi ;
- on la retourne ;
- on tourne le plateau qui porte la tarte d'un angle $\beta$ fixé, puis on recommence.
Prouver qu'après un nombre fini d'étapes, toutes les fraises se retrouvent sur le dessus et à leur position initiale sur le plateau.
Solution
On modélise la tarte aux fraises par le disque complexe $\mathbb{D}$ de centre 0 et de rayon 1. On introduit deux transformations de $\mathbb{D}$ : la rotation $R$ de centre 0 et d'angle $\beta$, et la symétrie $\sigma\ :\ z\mapsto \bar z$. On appelle $A$ la partie de $\mathbb{D}$ définie par $$ A := \{ z\in\mathbb{D}\ :\ -\alpha/2 \le \arg z \le \alpha/2 \}. $$ $A$ correspond à la part de tarte aux fraises touchée par la pelle à tarte, si bien que la transformation du gâteau décrite dans l'énoncé est modélisée par $T\ :\ \mathbb{D}\to\mathbb{D}$, définie par
- $T(z):=R(z)$ si $R(z)\notin A$,
- $T(z):=\sigma\circ R(z)$ si $R(z)\in A$.
On vérifie les propriétés suivantes :
- $\sigma (A) = A$ ;
- $\sigma\circ\sigma = \text{Id}$ ;
- $\sigma\circ R\circ \sigma = R^{-1}$.
Supposons de plus que $\beta/\pi$ n'est pas rationnel. Alors le temps d'entrée en $A$ sous l'action de la rotation $R$ $$ R_A(z) := \min\{ k\ge 1\ :\ R^k(z)\in A\} $$ est fini et uniformémént borné sur $\mathbb{D}$. Prenons $z\in A$, et notons $z_1:=R^{R_A(z)}(z)$. L'orbite de $z$ sous l'action de $T$ est alors finie, et de la forme $$ z\mapsto R(z) \mapsto \cdots \mapsto R^{-1}(z_1) \mapsto \overline{z_1} \mapsto \overline{R^{-1}(z_1)} \mapsto\cdots\mapsto \overline{R(z)}\mapsto z. $$ Toutes les orbites sous l'action de $T$ sont donc finies, et sont de plus de longueur uniformément bornée sur $\mathbb{D}$. Le ppcm de toutes les périodes étant fini, $T$ est donc périodique !
Si $\beta/\pi$ est rationnel, $R_A(z)$ est uniformément borné là où il est fini, et par ailleurs $T$ est évidemment périodique sur l'ensemble des $z$ pour lesquels $R_A(z)$ est infini.
